ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ - ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΤΟ ΧΡΥΣΟ ΣΤΕΜΜΑ ΚΑΙ Ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

Αποτελεί το πιο διάσημο επίτευγμα τού Αρχιμήδη. Κατάφερε να αποδείξει, ότι το στέμμα τού βασιλιά των Συρακουσών δεν ήταν από ατόφιο χρυσάφι χρησιμοποιώντας τη δύναμη τής άνωσης. Το στέμμα αποτελούνταν από κράμα χρυσού και ασημιού. Το ασήμι έχει τη μισή πυκνότητα τού χρυσού, οπότε ίσα βάρη των δυο μετάλλων καταλαμβάνουν διαφορετικό όγκο. Χρησιμοποίησε έναν αναλογικό ζυγό κι ένα κομμάτι ατόφιο χρυσάφι με το ίδιο βάρος με το στέμμα και τα βύθισε σε μια δεξαμενή με νερό. Το στέμμα λόγω τού ασημιού είχε μεγαλύτερο όγκο από το κομμάτι ατόφιου χρυσού και επειδή η δύναμη τής άνωσης εξαρτάται από τον όγκο τού εκτοπισμένου νερού, το στέμμα φαινόταν ελαφρύτερο μέσα στο νερό σε σχέση με το κομμάτι ατόφιου χρυσού.

Στο σύγγραμμά του «Τετραγωνισμός παραβολής» αποδεικνύει, ότι η περιοχή, που εμπερικλείεται μεταξύ μιας παραβολής και μιας ευθείας γραμμής είναι τα 4/3 ενός συγκεκριμένου εγγεγραμμένου τριγώνου.
Μια νέα αποδεικτική μέθοδος, την οποία εισήγαγε ο Εύδοξος ο Κνίδιος (διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα»: Η Ιπποπέδη τού Εύδοξου και η Ουράνια Μηχανική) και την επεξέτεινε ο Αρχιμήδης, είναι η μέθοδος τού διαφορικού και τού ολοκληρωτικού λογισμού, που την ονόμασαν μέθοδο τής εξάντλησης. Ο Εύδοξος κι ο Αρχιμήδης δεν ήταν δυνατόν να επιχειρήσουν αποδείξεις θεωρημάτων θεωρούντες το άπειρο ως κάτι το συγκεκριμένο. Τα τελικά αποτελέσματα των συναφών αποδείξεων τα λάμβαναν με την σε άτοπο απαγωγή. Τις έννοιες αυτές είχαν συλλάβει πρώτα ο Αναξαγόρας και κατόπιν ο Ιπποκράτης ο Χίος κατά την προσπάθειά τους για τον τετραγωνισμό τού κύκλου. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε τη μέθοδο τής εξάντλησης χωρίζοντας την περιοχή σε εγγεγραμμένα τρίγωνα, των οποίων το εμβαδόν τους σχηματίζει γεωμετρική πρόοδο με λόγο 1/4. Ο τρόπος εφαρμογής τής μεθόδου τής εξάντλησης, που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης, παρέμεινε αξεπέραστος μέχρι την ανάπτυξη τού ολοκληρωτικού λογισμού τον 17ο αιώνα. Είναι φανερό, ότι δεν ανακάλυψε τυχαία το γνωστό κοχλία του. Ελεύθερη Έρευνα