ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΤΗΣ ΤΕΛΕΙΑΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

Και όχι των νεώτερων χρόνων, όπως διδάσκεται.

Μέχρι προ μερικών ετών θεωρούνταν, ότι η μέθοδος απόδειξης της τέλειας επαγωγής ήταν επινόηση των νεώτερων χρόνων. Μερικοί Ευρωπαίοι την απέδιδαν σε κάποιο καθολικό μοναχό, τον Φραγκίσκο Μαυρόλυκο (ιστ΄ αι.). Μεταγενέστεροι συγγραφείς την απέδωσαν στον Ελβετό Ι. Μπερνούλλι και άλλοι στον Γάλλο Μ. Πασκάλ (ιζ΄ αι.).

Η μέθοδος της τελείας επαγωγής είναι επινόηση των Αρχαίων Ελλήνων κι όχι των νεωτέρων χρόνων.

Χρησιμοποιείται σε αρκετά θεωρήματα των Στοιχείων του Ευκλείδη, ενώ εφαρμοζόταν ήδη από τους Πυθαγόρειους, την γνώριζαν επίσης ο Ζήνων ο Ελεάτης και ο Αριστοτέλης.

Οι μέθοδοι απόδειξης, τις οποίες χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» είναι τέσσερις: Η συνθετική, η της εις άτοπον απαγωγής, η αναλυτική και η της τέλειας επαγωγής. Η μέθοδος της τέλειας επαγωγής, ή του αναδρομικού συλλογισμού κατά τους τελευταίους αιώνες εφαρμόζεται πολύ στην Ανώτερη Μαθηματική Ανάλυση.

Με απλή έκφραση ο ορισμός της μεθόδου μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Εάν κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής τουλάχιστον για δύο αριθμούς (φυσικούς, όπως είναι οι 1,2,3 ...) και αποδειχθεί, ότι είναι αληθής και για ένα ακόμα τυχόντα φυσικό αριθμό, ο ισχυρισμός έχει γενική ισχύ. Στα αριθμητικά βιβλία των «Στοιχείων» συναντάμε εφαρμογή της μεθόδου στα θεωρήματα με αριθμό 3, 14, 27, 35 του εβδόμου βιβλίου, στο θεώρημα 13 του ογδόου και στα θεωρήματα 8, 9, 20 του ενάτου βιβλίου. Το 1953 ο διαπρεπής Ολλανδός καθηγητής του Πανεπιστημίου της Ουτρέχτης Χάνς Φρόιντεντάλ δημοσίευσε άρθρο, στο οποίο υποστήριζε, ότι τη μέθοδο της τέλειας επαγωγής ανακάλυψαν κι εφάρμοζαν πρώτοι οι Πυθαγόρειοι πολύ πρίν τον Ευκλείδη. (Αrchives Intern. d’ Hist. des Sciences, Revue trim de l’ Union Inter. d.Sciences Nr 22, 1953, p. 17-36). 

Ήδη όμως, από το 1939 ο επίσης Ολλανδός διαπρεπής καθηγητής του Πανεπιστημίου της Ζυρίχης Β.Λ. Φόν Ντέρ Βαίρντεν παρατήρησε, ότι ο Ζήνων ο Ελεάτης γνώριζε τη μέθοδο της τέλειας επαγωγής (Mathem. Annalen 117, 1939, 148), όπως αναφέρεται στα σχόλια του Σιμπλικίου στα Φυσικά του Αριστοτέλη (Simpl. Phy. 140, 34). 

Aκόμη νωρίτερα του 1930, οι Γερμανοί καθηγητές Ηelmut Hasse (μαθηματικός) και Heinrich Scholz (φιλόλογος) στην κοινή πραγματεία τους με τίτλο «Η κρίση των αρχών των ελληνικών μαθηματικών» είχαν σημειώσει, ότι ο Αριστοτέλης γνώριζε τη μέθοδο της τέλειας επαγωγής, όπως συνάγεται από τα «Αναλυτικά Ύστερα», όπου αναφέρεται: «To καθόλου δεν υπάρχει τότε όταν επί του τυχόντος και πρώτου δεικνύεται» (73 b 32.)

Freeinquiry.gr